Caso X: Suma o diferencia de Dos potencias iguales

para aplicar este caso primeramente hay que tener en cuenta que Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. para factorizar se tiene que Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos. como se ve en el siguiente ejemplo:

x 5 + y5 = (x + y)(x4 – x3 y + x2 y 2 – xy3 + y4 )
a 7 – b7 =(a - b)(a6 +a5 b+a4 b 2 +a3 b 3 +a2 b 4 +ab5 +b6 )
x 5 – 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
1 + x7 =(1 + x)(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 )
x 5 – 32 =(x - 2)(x4 + x3 .2 + x2 .22 + x.23 + 24 ) 
=(x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x+ 16) 

para aplicar este caso paso a paso tenemos el siguiente ejemplo:

a5 + 15

Desarrollamos según la primera condición de esta manera.

= a4(1)0 – a3 (1)1 + a2 (1)2 – a1 (1)3 + a0 (1)4

Simplificamos.

(a4 – a3 + a2 – a + 1)

Factorizamos.

a5 + 15 = (a + 1) * (a4 – a3 + a2 – a + 1

Caso IX: Suma o diferencia de Cubos

Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica para factorizar hay que hacer un proceso un poco parecido al ya evidenciado en otros casos en el cual se dan dos casos el positivo y el negativo, Cuando es una suma (x3 + y3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. Cuando es una resta (x3 - y 3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. un claro ejemplo es:

x 3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2 )
a 3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ) 
8x3 – 125 = (2x – 5)[(2x)2 + (2x)(5) + (5)2 ] 
= (2x - 5)(4x2 + 10x + 25) 

Un ejemplo paso a paso de como aplicar este caso es:

1 + a³

Desarrollamos según la primera forma de esta manera.

(1³ + a³) = (1 + a) * (1 – (a)(b) + a²)

(1 + a) * (1 – a + a²)

Resultando.

(1 + a) * (a² – a + 1)
para su caso especial se resuelve así:

x 3 + (x - 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2 ]
= (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1)
=(2x - 1)(x2 – x +1) 

Caso VIII: Cubo perfecto de un binomio

para factorizar este caso se tiene en cuenta que siempre son 4 términos, todos positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto término tienen raíz cúbica. se inicia al  sacar raíz cúbica del primero, poner signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, asociar entre paréntesis y elevar al cubo. como se puede observar en el siguiente ejemplo: 

a 3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
X 3 – 3 x2 y + 3xy2 – y3 = (x - y)3
8 + 12 a2 + 6 a4 + a6 = (2 + a2 ) 3
prueba 3(2)^2 (a^2 ) = 12^a
           2 3(2)(a^2 ) 2 = 6a^4 

Un ejemplo paso a paso de como aplicar este caso es:

a³ + 3a² +3a + 1

Para resolver este ejercicio primero identificamos el primer y segundo término, por lo cual tomamos como primer término el primero con exponente al cubo que sería a³ y como segundo el 1. Desarrollamos.

a³ + 3a² +3a + 1

(a + 1)³= a³ + 3a²*(1) + 3a * (1)² + (1)³

Comprobamos

a³ + 3a² +3a + 1

Resultado y factorización.

(a + 1)³

Caso VII: Trinomio de la forma AX^2+BX+C

Luego de reconocer que la ecuación posea esta forma lo que se debe hacer es Descomponer el primer y tercer término en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus resultados, si la suma da el segundo término, entonces poner cada fila entre paréntesis. como se evidencia en el siguiente ejemplo:

10 x2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1)
5x*-1 = -5x/-9x 
2x*(-2) = -4x

Para resolver este caso seguimos los siguientes pasos:

2x² + 3x – 2

Para resolver este ejercicio observamos que el coeficiente de x2 que es 2 que para comenzar multiplicamos cada uno de los términos de la ecuación por 2, posteriormente la descomponemos en dos factores y buscamos dos número que multiplicados me resulte 4, luego esos mismos números que sumados o restado me den 3, colocamos los signos que utilicemos . Desarrollamos de la siguiente manera.

2x² + 3x – 2 = 2(2x²) + 2(3x) – 2(2)

4x² + 3(2x) – 4 Búsqueda de número (4)( 1)= 4 y (2)(2) = 4

Factorizamos y el Resultado

(2x+4) (2x-1) Comprobamos la veracidad. 4-1= 3 y (4)(1) = 4

Ahora tenemos que devolver la multiplicación del coeficiente (2) que realizamos anteriormente de la manera siguiente y obtenemos el resultado.

(2x+4) (2x-1) /2 = (x+2) (2x-1)

Teniendo como resultado de factorización de este trinomio.

(x+2) (2x-1)

Caso VI:Trinomio de la forma X^2+BX+C

Siempre y cuando posea esa forma se debe factorizar de la siguiente manera: Abrir dos pares de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término. Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en el primer paréntesis.como se evidencia en este ejemplo:

x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

x 2 – 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)

x 2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2) 

 x 2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)

 Para aplicar este caso se siguen los siguientes pasos:

y² – 9y + 20

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando la variable de mayor grado el coeficiente debe tener número 1, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 20, y de esos mismos números que sumados o restado me den 9, colocamos los signos que utilicemos . Desarrollamos de la siguiente manera.

y² – 9y + 20 Búsqueda de numero 20 * 1 = 20

(5 * 4= 20)

Factorizamos y el Resultado 10*2= 20

(y-5) (y-4) Comprobamos la veracidad. -5-4= -9 y 5*4 = 20

Caso V: Trinomio cuadrado por adicion y sustraccion

Para usar este caso siempre encontramos tres términos en el cual el primer y tercer término son positivos y poseen raíz cuadrada cuyos exponentes son múltiplos de (4, 8, 12, etc); para factorizar en este caso se les resta lo que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto y el resultado queda como el caso IV especial.
mediante este esquema ya dicho tenemos el siguiente ejemplo: 

x^4 + x^2 y ^2 + y^4 =(x^2 + y^2 ) ^2 – x^2 y^2
+ x^2 y^2/+2x^2 y^ 2    =[(x^2 + y^2 ) – xy] [(x^2 + y^2 ) + xy]
                                       =[ x^2 + y^2 – xy] [ x^2 + y^2 + xy]
                                       =[ x^2 – xy + y^2 ] [ x^2 + xy + y2 ]
Para resolverlo seguimos los siguientes pasos:


a4 + a² + 1

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando el primer término y el segundo término posteriormente le sacamos las raíces cuadradas a cada uno. Desarrollamos el producto notable que sería el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. Donde obtenemos.

(a² + 1) = (a²)² + 2*a²*(1) + (1)²

Posteriormente aplicamos potencia de potencia donde multiplicamos los exponentes y desarrollamos el ejercicio de la siguiente manera.

(a²)2 + a² + 1

Ahora comparamos lo que obtuvimos con la que nos dieron inicialmente, debemos igualarla a la del producto notable desarrollado, donde podemos observar que nos faltaría un a² para lo cual se lo sumamos a la inicial de esta manera.

a4 + a² + 1+ a² = a4 + 2a² + 1

Ahora que le sumamos ese a² debemos restarlo y agruparlos tomando en cuenta que este es el mismo producto notable pero factorizado de la siguiente manera.

(a4 + 2a² + 1) – a² = (a²+1)²-a²

En esta parte podemos aplicar la diferencia de cuadrados, donde la formula nos dice que:

a²- b² = (a – b)*(a + b)

Factorizamos y obtenemos el resultado.

(a² + a + 1)(a² – a + 1)

Para factorizar el caso especial de este caso se  saca la raiz cuadrada en ambos términos en paréntesis y elevar al cuadrado dicha solución,restar el doble del primero por el segundo y el resultado factorizar por el caso IV Especial.

x^ 4 + 4y^4

(x^2 + 2y^2 )^2 – 4x^2 y^2

[(x^2 + 2y^2 ) – 2xy] [ (x^2 + 2y^2 ) + 2xy]

[ x^2 + 2y^2 – 2xy] [ x^2 + 2y^2 + 2xy] 

[ x^2 – 2xy + 2y^2 ] [ x^2 + 2xy + 2y^2 ]  

Caso IV: Diferencias de Cuadrados

Se usa este caso cuando tenemos términos con cuadrados y estos se restan, para operar en este caso se abren dos paréntesis uno con (+) y otro con (-) despus tomamos el primer y segundo término y le sacamos la raíz cuadrada, repitiendo lo mismo en ambos paréntesis. podemos resolver este caso mediante estos pasos como por ejemplo:
a 2 – b2 = (a – b) (a + b)
4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y) 
X^2/25 - 16/Y^2 = (X/5-4/Y^3) (X/5+4/Y^3)

Pasos para resolver la diferencia de cuadrados:


X² – Y²

Esta forma para factorizar debemos saber la siguiente regla. Primero identificar los términos, nos dice que primer término al cuadrado menos segundo término al cuadrado va ser igual al factorizar a abrimos paréntesis primer término mas segundo término cerramos paréntesis multiplicado por la misma expresión, pero de signo contrario. A este resultado le aplicamos la propiedad distributiva. Donde obtenemos.

a – b² = (a + b) * (a – b) = a² – ab + ba – b² = (a² – b²)

Desarrollamos el ejercicio y nos resulta.

X² – Y² = (X – Y) * (X + Y)

Para resolver el caso especial el cual posea un término demás que se encuentre en forma de resta lo que debemos hacer es realizar la misma operación pero en este caso abrir unos corchetes demás sobre estos y resolver la operación como se ven en el siguiente ejemplo: 

(a+b)^2 – c^2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]

49(x –1)^2 – 9(3 – x)^2 

[7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)] 

[7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x]

[10x – 16] [4x + 2]  

Caso III: Trinomio Cuadrado Perfecto

Para hacer uso este caso primeramente debemos analizar la ecuación que nos proponen, aplicamos la norma que nos dice: el primero al cuadrado mas dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado, el primer y el tercer término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta. Un claro ejemplo de este es:

a ^2 +2ab+b^2 = (a+b)
x^ 2 -2xy+y^2 = (x-y)2
4x^2 -12xy+9y^2 =  (2x-3y)2   prueba: 2(2x)(3y) =12xy

Pasos para realizar el tercer caso seguimos los siguientes casos:

a2 – 2ab + b²

Para resolver este ejercicio debemos sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término, tomando en cuenta que el tercer término debe ser totalmente diferente al primero y el intermedio. Como ambos términos están elevados al cuadrado (²) y es trinomio cuadrado perfecto es lo opuesto del producto notable del cuadrado de la diferencia. Recordemos que es cuadrado de la diferencia seria, el cuadrado del primer término menos doble por el primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Donde obtenemos.

(a – b)² = a2 – 2ab + b²

Desarrollamos el ejercicio y nos resulta.

(a – b)²
Para casos especiales usamos el mismo proceso pero al sacar la raíz asociamos dichos términos que se encontraban en paréntesis a los corchetes y se elevan al cuadrado:

(a+1)^2 +2(a+1)(2a-3)+(2a-3)^2
[(a+1)+(2a-3)]^2 
[ a+1 + 2 a-3 ]^2
[3a-2]^2

Caso II: Factor Común por agrupacion de Terminos

Para aplicar este caso de Factorización primero hay que analizar y reconocer que en este se evidencian factores en común con la característica de que éstos se encuentren entreparentesis, luego tomamos cada uno de estos paréntesis y los dividimos entre cada término en común buscando reducir la expresión (se simplifica) y obtenemos nuestro resultado. como se evidencia en el siguiente esquema:

ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)
= x(a+b) - y(a+b)
= (a+b)(x-y)
ax2 -x+ax-1 = (ax2 -x)+(ax-1)
= x( ax-1) +(ax-1)
= (ax-1)(x+1)  

Para usar este caso de factorizacion seguimos los siguientes pasos:

a2 + ab +ax + bx

1)Aquí para agrupar los términos semejantes vamos agrupar los términos que sean comunes utilizando la propiedad asociativa y sus paréntesis.

(a² + ax) + (ab + bx)

2)Luego aplicamos el factor común, la letra que se repite dentro del paréntesis y tomamos la letra con menor exponente.

a (a2/a + ab/a) + b ( ab/b+ bx/b )

3)En este paso desarrollamos las divisiones.

a (a + x) + b(a + x)

4)Como podemos observar tenemos términos repetidos por lo tanto agrupamos de la siguiente forma.

(a + x) (a+b)


5)Simplificamos y obtenemos el resultado:

(a + x) (a + b)

Caso I: Factor común

Para aplicar este caso podemos Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes).

ax+bx = x(a+b)

ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b)

2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2 -1)

24ax+18bx = 6x(4a+3b)

• Se halla el MCD:

24 – 18 |2⇐   

12 – 9   |2

6 – 9     |2              MCD = 2 . 3 = 6 

3 – 9     |3⇐

1 – 3     |3

       1    |

Para aplicar este caso especial seguimos los siguientes Pasos:

1)Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con varios.

Ejemplo:

2)Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

${\displaystyle (5x^{2}+3x+7)\,}$

3)La respuesta es:

${\displaystyle (5x^{2}+3x+7)(x-y)\,}$

2.1)En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

2.2)Se puede utilizar como:

3.1)Entonces la respuesta es: