Caso V: Trinomio cuadrado por adicion y sustraccion

Para usar este caso siempre encontramos tres términos en el cual el primer y tercer término son positivos y poseen raíz cuadrada cuyos exponentes son múltiplos de (4, 8, 12, etc); para factorizar en este caso se les resta lo que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto y el resultado queda como el caso IV especial.
mediante este esquema ya dicho tenemos el siguiente ejemplo: 

x^4 + x^2 y ^2 + y^4 =(x^2 + y^2 ) ^2 – x^2 y^2
+ x^2 y^2/+2x^2 y^ 2    =[(x^2 + y^2 ) – xy] [(x^2 + y^2 ) + xy]
                                       =[ x^2 + y^2 – xy] [ x^2 + y^2 + xy]
                                       =[ x^2 – xy + y^2 ] [ x^2 + xy + y2 ]
Para resolverlo seguimos los siguientes pasos:


a4 + a² + 1

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando el primer término y el segundo término posteriormente le sacamos las raíces cuadradas a cada uno. Desarrollamos el producto notable que sería el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. Donde obtenemos.

(a² + 1) = (a²)² + 2*a²*(1) + (1)²

Posteriormente aplicamos potencia de potencia donde multiplicamos los exponentes y desarrollamos el ejercicio de la siguiente manera.

(a²)2 + a² + 1

Ahora comparamos lo que obtuvimos con la que nos dieron inicialmente, debemos igualarla a la del producto notable desarrollado, donde podemos observar que nos faltaría un a² para lo cual se lo sumamos a la inicial de esta manera.

a4 + a² + 1+ a² = a4 + 2a² + 1

Ahora que le sumamos ese a² debemos restarlo y agruparlos tomando en cuenta que este es el mismo producto notable pero factorizado de la siguiente manera.

(a4 + 2a² + 1) – a² = (a²+1)²-a²

En esta parte podemos aplicar la diferencia de cuadrados, donde la formula nos dice que:

a²- b² = (a – b)*(a + b)

Factorizamos y obtenemos el resultado.

(a² + a + 1)(a² – a + 1)

Para factorizar el caso especial de este caso se  saca la raiz cuadrada en ambos términos en paréntesis y elevar al cuadrado dicha solución,restar el doble del primero por el segundo y el resultado factorizar por el caso IV Especial.

x^ 4 + 4y^4

(x^2 + 2y^2 )^2 – 4x^2 y^2

[(x^2 + 2y^2 ) – 2xy] [ (x^2 + 2y^2 ) + 2xy]

[ x^2 + 2y^2 – 2xy] [ x^2 + 2y^2 + 2xy] 

[ x^2 – 2xy + 2y^2 ] [ x^2 + 2xy + 2y^2 ]